[AI 수학] 인공지능 수학 - 3. 선형변환

인공지능을 위한 기초수학 교재를 통해 공부한 내용을 서술하였습니다.

---

선형 변환, Linear Transformations

728x90

Preliminaries

변환

• 입력과 출력이 모두 벡터인 함수

선형 관계란?

• 두 개 이상의 변수 사이에서 일정한 패턴이나 규칙에 따라 형성되는 관계
• 변수들 간에 직선의 형태로 표현될 수 있는 관계

선형 관계의 특징

• 비례 관계 : 하나의 변수가 증가하면, 다른 변수도 일정한 비율로 증가하거나 감소
• 직선 관계 : 그래프 상에서 직선의 형태로 표현
• 상수 비율 : 두 변수 사이의 관계를 나타내는 상수 비율이 존재 $\to$ 기울기, gradient라고 함

 

선형 변환이란?

$T(x) = Ax$

 

$\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 변환 $T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$가 임의의 벡터 $u, v \in \mathbb{R}^n $와 임의의 스칼라 k에 대하여 다음 두 조건을 만족하면 $T$를 $\mathbb{R}^n$에서 $\mathbb{R}^m$으로의 선형변환이라고 함

 

1. $T(u + v) = T(u) + T(v) $
2. $T(ku) = kT(u),  (k \in \mathbb{R})$

 

쉽게 말하자면, 벡터 공간 내에서 벡터를 다른 벡터로 mapping하는 것

 

벡터공간 자세히 보러가기

집합(set) 내에 임의의 두 원소를 합(addition)하거나, 하나의 원소에 스칼라배(scalar multiplication)를 했을 때의 결과들이 그 집합을 벗어나지 않는 집합

---

선형 변환의 예시

 

선형 변환 행렬 : A = $ \begin{bmatrix}
2 &  0\\
 0&  3\\
\end{bmatrix}$

 

import numpy as np

# 선형 변환 행렬
transformation_matrix = np.array([[2, 0],
                                  [0, 3]])

# 입력 벡터
original_vector = np.array([1, 2])

# 선형 변환 적용
transformed_vector = np.dot(transformation_matrix, original_vector)

print("입력 벡터:", original_vector) #[1 2]
print("변환된 벡터:", transformed_vector) #[2 6]

 

이처럼 선형 변환은 행렬을 사용해 효과적으로 표현 가능

 

선형 변환의 결과는 변환 행렬과 입력 벡터의 곱으로 나타낼 수 있음

---

선형 변환 행렬

선형 변환을 행렬로 나타내기 위해 변환 행렬을 사용

 

변환 행렬은 입력 벡터를 변환하여 출력 벡터를 생성하는 데 사용

행렬의 각 열은 변환 후의 각 차원을 나타냄

 

2차원 선형 변환 예시

 

$T(\mathbf{v}) = \mathbf{Av}$

 

A는 변환 행렬,$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}

2 & -1 \\

3 & 0

\end{bmatrix}$

 

입력 벡터 v = [1 2]

 

$\mathbf{Av} = \begin{bmatrix}

2 & -1 \\

3 & 0

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

1 \\

2

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}

0 \\

6

\end{bmatrix}$

 

따라서, 입력 벡터 v는 행렬 A에 의해 변환되어 [0 6]로 매핑됨

---

 

References

https://wikidocs.net/214405

3. 선형 변환

https://swjman.tistory.com/95

선형 사상(Linear Map) 또는 선형 변환(Linear Transformation)의 원리 이해