[AI 수학] 인공지능 수학 - 4. 기저와 차원, 벡터 공간

인공지능을 위한 기초수학 교재를 통해 공부한 내용을 서술하였습니다.

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기저와 차원

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벡터 공간, Vector Space

 

일정한 조건을 만족하는 벡터들의 집합

• 모든 벡터 u와 v에 대해, u+v도 벡터 공간에 속해야 합니다.
• 모든 스칼라 c와 벡터 v에 대해, cv도 벡터 공간에 속해야 합니다.
• 0+v=v가 모든 벡터 v에 대해 성립해야 합니다.
• 모든 벡터 v에 대해, v와 더해져서 영벡터가 되는 벡터 −v가 존재해야 합니다.

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기저, Basis

일정한 조건을 만족하는 해당 벡터 공간을 생성하는데 필요한 "기초" 벡터들의 집합

• 선형 독립 : 어떤 기저 벡터도 다른 기저 벡터의 선형 조합으로 표현되지 않아야 함.
• 생성 가능 : 기저 벡터들의 선형 조합으로 벡터 공간 V의 모든 벡터를 생성할 수 있어야 함.

표준 기저 : 좌표 공간에서 좌표 성분 중 하나의 성분 값만 1이고 나머지는 다 0인 벡터의 집합

 

예) 2차원일 때 표준 기저, $\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad \mathbf{e}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

 

이 경우, e1과 e2는 선형적으로 독립적이며, 이 두 벡터의 선형 조합으로 2차원 평면 내의 어떤 벡터도 표현 가능

 

 

차원, Dimension

집합 S가 $\mathbb{R}^n$의 한 기저일 때,

S에 속하는 벡터의 개수를 $\mathbb{R}^n$의 차원이라 하며 dim$\mathbb{R}^n$로 나타냄

 

 

References

https://wikidocs.net/214402

4. 기저(basis)와 차원(dimension)

https://swjman.tistory.com/95

선형 사상(Linear Map) 또는 선형 변환(Linear Transformation)의 원리 이해