[AI 수학] 인공지능 수학 - 6. 기초 통계

인공지능을 위한 기초수학 교재를 통해 공부한 내용을 서술하였습니다.

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시행 

• 같은 조건 하에서 몇 번이고 반복할 수 있는 결과가 우연에 의해서 정해지는 실험 또는 관찰

 

표본 공간 (Sample space)

• 실험 또는 시행에 의하여 일어날 수 있는 모든 가능한 결과들의 집합

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사건 (Event) 

• 시행의 결과로 일어난 것 
• 표본 공간의 부분집합

 

확률 (Probability) 

• 사건이 일어날 가능성을 수치로 표현한 것
  
  
• $P = \frac{어떤 일이 일어날 경우의 수}{모든 경우의 수}$

 

순열 (Permutation) 

• 서로 다른 물건들 중 몇개를 골라 순서를 주어 나열한 경우의 수
• 서로 다른 n개로부터 k개를 순서대로 골라내는 경우의 수
  
• ${}_nP_k = \frac{n!}{(n-k)!}$

 

조합 (Combinataion)

• 서로 다른 물건들 중 몇개를 순서 없이 고르는 경우의 수
• 서로 다른 n개로부터 중복 없이 k개를 골라내는 경우의 수
  
• $ {}_nC_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n \times (n-1) \times \cdots \times (n-k+1)}{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times k} $

 

이항계수 (Binomial Coefficient)

• 조합의 개수를 나타내는 수
  
  
• $ \begin{pmatrix}
  n \\ k
  \end{pmatrix} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $
  
  📌 그럼 조합이랑 같은거야?
  이항계수는 결국 조합(combination)의 개수를 구하는 공식
  
  조합 → 상황에서 원소를 고르는 경우의 수 자체를 의미
  이항계수 → 수학적으로 조합의 개수를 계산할 때 사용하는 값

 

이항정리 (Binomial Theorem)

• 두 항의 합인 $(x+y)^n$을 전개할 때 각 항의 계수를 구하는 일반적인 방법
  
  
• $(x+y)^n = \sum^n_{k=0} \begin{pmatrix}
  n \\ k
  \end{pmatrix} x^ky^{n-k}$
  
  
• 즉, $(x+y)^n$을 전개할 때 각 항의 계수는 이항계수가 된다는 것

 

조건부 확률

• 어떤 사건 A가 일어났다는 조건 하에 사건 B가 일어날 확률을 사건 A에 대한 사건 B의 조건부 확률이라고 함
  
  
• $P(B|A) = P_A(B) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} $ (단, $P(A) > 0$)

 

곱셈 정리

 

조건부 확률의 정의로부터 다음의 곱셈 정리를 얻을 수 있음

• $P(A\cap B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)$
  
  
• $P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 ... \cap A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2) ... P(A_n|A_1 \cap A_2 \cap ... \cap A_{n-1})$

 

독립사건

• 두 개의 사건 $A, B$가 $P(A \cap B) = P(A)P(B) $ 또는$ P(B|A) = P(B)P(B|A) = P(B)$를 만족할 때, 통계적 독립이라고 하고, A와 B를 독립사건이라고 함 
  
  
• A와 B가 독립이면, 다음 두 사건들도 독립
  (1) $A$와 $B^c$
  (2) $A^c$ 와 $B$
  (3) $A^c$ 와 $B^c$

 

종속사건

• A와 B가 서로 독립이 아닐 때, 종속사건이라고 함 

 

독립시행의 정리

• 확률 $P$를 가지는 독립사건 $A$가 $n$회 반복 시행 중 $x$회 나타나는 확률 $P(x : n,p)$라고 하면, $P(x : n,p) ={}_nC_xp^x q^{n-x}$ (단, $p+q = 1$, $x = 0,1,2,..,n$ )